令贾君鹏废寝忘食的问题：0.99无限循环和1谁大？
猪肘
路边社特约毙稿人 twitter：@huangxcheng
1楼 大 中 小 发表于 2009-8-5 20:49 只看该作者
令贾君鹏废寝忘食的问题：0.99无限循环和1谁大？
两千网友激辩0.99无限循环比1大
http://www.cnbeta.com/articles/90020.htm
“0.99999无限循环和1究竟哪个大?”这个问题可把做家教的西南大学研二学生朱小勇给难住了.网友们对这一问题更是各执一词,等于、大于、小于三种答案众说纷纭.
昨日,记者采访重庆一中的邹发明老师,邹老师说:“教材上用等号表示,但这个等号不是绝对意义下的等.
网友1大的提法是错误的,没有这种比较.”但重师数计学院刘凯年教授则表示,严格说来就是等于1,不管是极限还是普通意义上.更有教授提出了虽然是极限下的等于,如果要比较应该是1大.
初中生发问难住研究生
暑期做家教的西南大学研二学生朱小勇最近遇到了一个难题,在北碚上初中的学生问了他这样一个问题,“0.99999无限循环和1究竟哪个大?”他一开始不假思索地回答:“肯定是1大.”结果这个学生告诉他:“有老师说是一样大.”
这让当家教老师的他很没面子.究竟哪个更大?朱小勇告诉记者,他已经将题发到大渝论坛,但网站网友的说法不一,大于、小于、等于的观点都有,网友对每个答案给出的理由又很充分,这让他犯了难,“究竟我该听谁的好?”朱小勇希望记者能够帮他咨询.
网友3种答案谁对谁错?
昨日,记者网上搜索,发现这个问题同样被网友关注,其中天涯上,该帖成为置顶热帖,昨晚记者截稿时粗略统计,共有2033名网友参与讨论,129名网友回帖.网友们的说法正如朱小勇所描述的那样五花八门.
“好简单嘛,明显是1大撒.”网名为“红烧叮叮猫”的网友回答.他给出了1大的理由,
0.999……,无论怎么循环,只是无限趋近于1,无论怎么趋近,还是没到1,所以1大,在天涯上支持“红烧叮叮猫”1大的网友占42%.
“是等于的撒,可以算出来嘛.”接近58%的网友给出了这种答案,网友“海月朵朵”还给出了证明解法:0.99···=0.33···×3=1/3×3=1,一名小学生更是打包票说:“五年级的课本老师都教过了,就是等于”.
还有一个网友别出心裁地给出“0.99999无限循环比1大”的答案,但并没有给出证明依据,所以无人响应.究竟谁大谁小?看来在这个问题上,网友也意见不一,那么专家呢?
数学专家说法不一
昨日记者请教重庆一中数学教师邹发明,邹老师表示,网友们不能用有限的视角去看待无限的问题,这样肯定会出现偏差.
0.9999的无限循环是“要多近就有多近”的意思,是一种玄乎语言.他称,不是绝对意义的等于,而是极限含义下的“等于”,这个“等于”是无限趋近的意思.
而重师数学统计学院的刘凯年教授则认为,就是严格意义上的等,他打了个比方,如果不等于,你能够举出1和0.9的无限循环的差距吗?不能的话说明就是严格意义上相等的.
而重庆某高校的数分组的组长则表示,极限意义下的等于,非要比较大小应该是1大.专家不同的观点让记者也产生疑惑了,究竟谁对,谁错?记者 汪再兴
网友的另类解释
在网上,网友们还给出了多种另类解释让人忍俊不禁.
1.本来该发100元工资,却发了99块99999……,老板说是一样的,你心里爽不爽?
2.你去银行存99块9角9分,你喊算成100块,看银行干不干?
3.这个问题体现到哲学上就是量变和质变的关系,量变发展到一定程度必然要产生质变.
4.看了上面的回帖感觉明白了一个道理……为什么那些卖衣服的标价啊……电脑标价啊,一般都标价199、1999而不标200、2000……
5.同学甲:0.999999无限循环与1一样大!
同学乙:我们可以把数学上的假设问题换作生活问题,比如:从头上拔掉一根头发后,和原来的头发比一样多,反正也看不出来嘛(无限循环的概念可以理解为小数点后面的9多到看不见).可以这样作比较吗?
同学甲:可以.
同学乙:那也就是说,从你的头发拔掉一根头发对你来说,没啥子损失啰.
同学甲:是的.
同学乙:那我开始从你头上拔头发了.
同学甲:好.
同学乙:1根.
同学甲:继续.
同学乙:2根.
同学甲:继续.
同学乙:N根……
同学甲:你非得把老子拔成葛优才肯住手吗?
结论:实践出真知.
■编后
一个看似很小儿科的问题,竟然成为网上的置顶热帖,引起两千多人次参与讨论,我有些不解.网友也许有点无聊,但肯定不仅仅是无聊.一个帖子成为热帖,一定有它的原因,但究竟是什么原因,我不得而知.也许只有参与的网友自己知道,也许参与本身,就代表了一种积极的生活态度.
《重庆商报》消息
Terminusbot 整理，讨论请前往 2049bbs.xyz
一向低调
我是爱党的良民
2楼 大 中 小 发表于 2009-8-5 21:04 只看该作者
那我也参与一下
1 0.99999。。。除以3等于0.33333.。。等于三分之一
2 1除以3等于三分之一
综上0.99999。。。等于1
jenhowe
3楼 大 中 小 发表于 2009-8-5 22:27 只看该作者
这个帖子在这里也出现了……
这两个是严格相等的，一样大
hooflet
4楼 大 中 小 发表于 2009-8-5 23:55 只看该作者
数值上严格相等 拓扑上不等价 一个开集”,1)” 一个闭集”,1]”
Archanfel
PRC护照持有者；学生；反权威倾向；好斗；温和；地方主义；agnostic
5楼 大 中 小 发表于 2009-8-7 19:16 只看该作者
头比较大
OpenBL
6楼 大 中 小 发表于 2009-8-7 21:14 只看该作者
以前一次上维基首页上看过：
在完备的实数系中，循环小数0.999…表示一个等於1的实数。也就是说，“0.999…”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被專業数学家所接受，并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明，它们各有不同的嚴謹性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性質、历史文脉、以及目标受众。
实际上，一旦我们允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法。例如，18.3287与18.3286999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数。这些各种各样的等式被用来更好地理解分数的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构。它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。
0.999… =
1有许多证明，它们各有不同的嚴謹性。一个嚴謹的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数其實是同一個的，当且仅当它们的差等於零。大部分人都同意，0.999…与1的差，就算存在也是非常的小。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差的大小一定是小於任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德性質），唯一具有这个性质的实数是零。由於差是零，可知
1 和 0.999… 是同一數。
OpenBL
7楼 大 中 小 发表于 2009-8-7 21:21 只看该作者
证明
對位相減
在不考慮柯西序列的情況下：
1.00000…
- 0.99999…
0.00000…
結果為 0.000…，也就是後面的 0 無限循環。這兩個數目在這裡是無限循環小數，小數點後五位之後還會一直填上 0，始終無法找到最後一位來填上
1。1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。
這假設了 0.999… 沒有「最後的9」、這些無限循環小數的小數點後的位數為可列的（可以由第一個數位一個位一個位數下去而於有限次數到任一個數位）（這已得出
0.999… 沒有「最後的9」）、 1.000… - 0.999… 的結果存在小數表示式。運算結果將沒有「最後的1」，所以1與0.999…沒有差值。
代数
[编辑] 分数
无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333…，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个0.999…
= 1的证明。用3乘以0.333…中的每一个3，便得到9，所以3 × 0.333…等於0.999…。而3 × 1⁄3等於1，所以0.999… = 1。[1]
这个证明的另外一种形式，是用1/9 = 0.111…乘以9。
一个特别的除法竖式
用竖式计算可得8.999… ÷ 9=0.999…
设n=0.999…
则\frac{8+n}{9}=n
解此一元一次方程得n=1
所以0.999…=n=1
实数分析
由於0.999…的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的基本定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999…的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：
b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\cdots
小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。
核子力量
Twitter.com/hzpower
8楼 大 中 小 发表于 2009-8-7 21:36 只看该作者
在cb上看到了，评论还真多，好几页
Phillip
路边社特邀围观群众
9楼 大 中 小 发表于 2009-8-8 14:56 只看该作者
CB上一堆人还很有优越感地认为1就是大
左岸←右岸
把你的子宫钉到我的墙上，这样我便会记得你。我们必须走了。明天，明天…
10楼 大 中 小 发表于 2009-8-8 16:12 只看该作者
一样大啊···
1/3=0.33333333………
1=1/3×3=0.3333333…..×3=0.9999999…….
DarkStar
自由主义真正关心的只是底线问题，而其它主义者关心的大多是蓝图问题，中国大陆的自由主义者除外。
11楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 03:09 只看该作者
擦 那我用1的N次方等于1 而0.9999999…….的N次方小于1，可不可以证明0.9999999…….小于1呢
sin
群众
12楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 04:25 只看该作者
引用:
原帖由 DarkStar 于 2009-11-14 03:09 发表
擦 那我用1的N次方等于1 而0.9999999…….的N次方小于1，可不可以证明0.9999999…….小于1呢
请给出0.9999无限的n方小于一的证明
菜青虫
老蔡
13楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 05:10 只看该作者
日啊
我高中以后就没看过数学，不过心里有个疑惑：
1/3是什么？不就是把1这个单位平均分三分么？
问题是你能把1平均分三份么？显然不能，你只能得到一个无线接近1/3的答案，而不是准确的1/3，所以1/3这个分数在这里本身就是理想化的，它在事实上就是等于0.333……
这样一来，0.999……..显然就是等于1的。
呵呵呵，我这样的白目解释说得通么？ 反正我是这么说服自己的，哈哈哈，因为不懂维基上的那些专业论证。
蚊驱
14楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 06:41 只看该作者
引用:
原帖由 Archanfel 于 2009-8-7 19:16 发表
头比较大
我头也大。
moonsucker
大隐隐于厕
15楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 07:46 只看该作者
楼上几位用乘法或者减法证明0.9循环等于1的童鞋也许忘了一个前题，就是无限小数属于极限概念，不能参与代数运算。。。。
江湖席
16楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 07:58 只看该作者
0.99999…… * (10 - 1) = 9.99999…… - 0.99999…… = 9 = 1 * (10 - 1)
so 0.99999…… = 1
江湖席
17楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 07:59 只看该作者
引用:
原帖由 moonsucker 于 2009-11-14 07:46 发表
楼上几位用乘法或者减法证明0.9循环等于1的童鞋也许忘了一个前题，就是无限小数属于极限概念，不能参与代数运算。。。。
你是想说1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 这样的代数运算是不合法的？
bafield
日人民报特约评论员
18楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 14:52 只看该作者
1肯定大些，0.999999999……………….怎么也要少那么一丁点儿
就像孙猴子怎么也跳不出如来的手掌
id已被绿坝屏蔽
闃呭悗鍗崇剼
19楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 14:58 只看该作者
智商鉴定贴啊。。。。好多人初中没毕业。。。
Ubiquitous
只看不說話
20楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 16:46 只看该作者
真是奇怪这种问题还有什么可争论的
左岸拾荒
21楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 16:58 只看该作者
引用:
原帖由 DarkStar 于 2009-11-14 03:09 发表
擦 那我用1的N次方等于1 而0.9999999…….的N次方小于1，可不可以证明0.9999999…….小于1呢
俺赞同这个
DarkStar
自由主义真正关心的只是底线问题，而其它主义者关心的大多是蓝图问题，中国大陆的自由主义者除外。
22楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 17:11 只看该作者
引用:
原帖由 sin 于 2009-11-14 04:25 发表
请给出0.9999无限的n方小于一的证明
某个数小于1的时候，它的N次方小于它自己，N越大越小
不过这个数小于1，这是有待求证的，不是条件… …
啊 这么说不用极限，直接就等于1啊… …
elzzird
混吃等死的绣花枕头
23楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 17:19 只看该作者
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/0.999%E2%80%A6
astding
大学两年有余一事无成，唯八卦之精神，蛋疼之品格生生不息。 twitter: @astding
24楼 大 中 小 发表于 2009-11-14 17:36 只看该作者
1-0.9999…=lim(1/10)^n=0
n->∞